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“钟杳，晚上竞赛班有个强化训练，去试试？”穆淮笑着在窗外招了招手，他说得竞赛班，是真正今年竞赛主力军，而不是高一新生兴趣培养班。
“好的！”钟杳拎着她看了一多半的书，起身出教室，和穆淮一同往竞赛教室走去。
穆淮看清钟杳手里教材封面，不有挑眉，“在看Neukirch代数数论了？”
果然，能够把高中数学玩成降维打击。
钟杳的自学领域，足够超前。
高中竞赛生，能掌握部分初等数论内容，吃透同余、二次剩余、简单不定方程，就足以在联赛里稳居高分，手握致胜法宝，
如今省实验竞赛班里最顶尖的冲奖苗子，竞赛主力，也不过堪堪掌握初等数论的工具运用，刷题攻坚，知其然而不知所以然。
代数数论，这根本不是高中范畴的内容，甚至绝大多数本科生四年读下来，都只是浅尝辄止，唯有研究生阶段深耕数论方向，才会系统钻研这本专著。
“对，还没学完，有个丢番图方程问题挺有意思，我想加深研究，感觉自己了解的内容仍有欠缺！”穆老师是专业数学出身，钟杳趁机请教道：“穆老师，关于这个方面，还有什么著作推荐吗？”
“丢番图方程？那你可以试试Silverman《椭圆曲线的算术》，这是丢番图方程最高阶经典著作，
Serre《局部域》《数论讲义》这是研究这个方向的工具书，还有曹珍富版的《不定方程》这是国内唯一专项研究专著，更深一步，你就需要接触一些真正的数学期刊、已经直接检索专项论文！我那里有一些专业期刊，你有需要可以拿去看看！”他是数学专业出身，有订阅期刊的习惯，
他自认为愚钝，虽然没有什么做大课题的能力，但到底还年轻，没放弃接触新进展的开拓眼界。
发现问题，解决问题，围绕问题拓展学习，钟杳已经很有研究生的学习节奏。
“晚上不要留手，给竞赛班杀杀骄气！”临近教室，穆淮意味深长的笑着嘱咐道。今年几个苗子还算不错，但是这是和往年大多数相比，和钟杳比起来，就有些不够了。
他之前准备的那套习题册，不仅有省赛难题，还有一些国赛、IMO的典型题，钟杳做得可都不费吹灰之力，今晚的省赛模拟加训，自然不是问题。
“刚好，一会儿给你加道题，88年的IMO传奇题目，刚好是丢番图板块，你试试感觉！”那份省赛模拟卷对钟杳只能是热热身。
这道被誉为封神压轴， IMO百年历史里的最高难度梯队，远高于普通联赛、国赛难度题，才是今天给钟杳准备的开胃菜，刚好给她开拓眼界，练练题感。
踏入竞赛教室，屋内坐着的全是校内精选的高二高三竞赛主力，个个心气高傲，平日里都是稳居校内竞赛前列，预计冲刺省一的重点尖子生，一般学生眼中的天才。
众人瞥见跟着穆淮进来的钟杳，一个高一新生，眼底纷纷掠过几分诧异与轻视。
高一偶尔会有一些不错的苗子，被教练当宝贝引入竞赛班长见识，但大多数最多不过省三等奖的标准，不足为惧。
穆淮给钟杳指了个位置让她入座，多余的话没有，直接就是发卷。
限时一百五十分钟的省赛模拟卷下发，所有人立刻沉下心埋头演算，笔尖摩擦纸张的沙沙声此起彼伏。
整张试卷题目不多，就四道大题，省赛二试的模拟，但是题型刁钻、计算量大，融合了数论、几何、组合多种难点，不少人刚做过半程就眉头紧锁、频频卡壳。
钟杳从容淡然，目光扫过题干，解题思路瞬间成型。
落笔行云流水，步骤简洁精准，没有多余演算，每一步都直击核心，速度快得惊人。
不到四十分钟，她便放下笔，率先交卷。
满室寂静。
一众绞尽脑汁，头脑热胀的竞赛尖子生骤然抬头，满脸难以置信。
他们还在最快的，也才做到第二题，还在为第二问思路苦苦演算，而被他们轻视没看在眼里的高一同学，已经直接交卷。
不会是胡乱写的吧？或者压根没做完放弃？
但是，想想，能被老师单独选出来带过来的苗子，应该不会这样胡乱操作，那就是真做完了？
不管考多少分，这速度，真的是对他们制造压力，排名靠前的几个尖子生，咬牙沉心，加快做题速度。
穆淮神色平静，早已料到结果，抬手拿出那张手写88年 IMO真题的草稿纸递到她面前：“试试这个！”
他出的题目，答案他自然知道，一眼扫过四题最终答案，都是正确，钟杳本次又要延续满分碾压，达成他的目的。
钟杳从穆淮手里结果草稿纸写下的拔高题目，回到位置重新做起来。
这道题的题目很简洁，设正整数\(a，b\)，满足\(ab+1 \mid a^2+b^2\)，求证：\(\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}\)是完全平方数。
有的时候，字数多的题目不一定难，但是字数简单的题目，反而往往越凶狠。
寥寥一行等式，内里藏着无数纠缠的约束，稍不留意就会漏解、增解，当年不知多少国际竞赛好手栽在这道题上。
钟杳读完题目，略微思索，脑海里已经有了常规标准的解法，韦达跳跃，也就是无穷递降。
把整除条件改写为等式，将式子视作关于a的二次方程，利用韦达定理得到另一根，再用反证法，选取总和最小的一组解，生成更小的正整数新解，制造无穷递降矛盾，以此反推k必须是平方数。
她随手拿起草稿纸，先顺着常规竞赛思路往下推演。
钟杳快速把这套韦达跳跃的推演框架在草稿纸上铺完，得到了全部答案。
笔尖顿住，她并没有就此停下。
韦达跳跃是初等数论给出来的利器，可终究是在初等框架之内绕圈子，靠不断压缩变量范围暴力筛选解。
“能不能不从递降枚举入手，不做反证递降构造更小解，直接利用二次整数环的范数乘法性质，从方程的代数结构本身给出约束。”
常规可以用韦达跳跃，无穷递降，不断交换变量构造新解，反复分类讨论，排除大量无效情况，过程冗长繁琐，稍有一步疏漏就全盘推翻，当年国际考场上能完整写对的选手寥寥无几。
既然是二元丢番图方程，硬靠初等无穷递降属于绕远路。
钟杳心里冒出念头，把方才写满韦达跳跃演算的草稿纸推到一边，抽了一张崭新的空白草稿纸。
想起最近研读的二次整数环内容，她拿起笔，尝试把整个等式放进\(\mathbb Z[\sqrt{k}]\)的框架下看待。
她把原式做变形重组，将等式放到二次整数环之内，不再局限实数域上的不等式放缩。
不再一个个去穷举 c的可能，转而从素元分解的角度，直接约束等式两边的结构，把庞大的解空间直接切割压缩，直接考察范数的乘法结构。
如果k不是完全平方，\(\sqrt{k}\)便是无理元，范数的性质会允许生成无穷多组解，可原方程受等式约束，解只能是有限的。
这一处结构上的内在冲突，直接就锁死了k的形态。
无关的无效解被一层层剔除，很多需要长篇讨论的分支，在这里直接被性质判定直接抹去，不需要大量分类枚举。
如同手术刀剖开外壳，不需要冗长的反证，不需要一轮轮跳跃变换变量，从丢番图方程根植的代数环上直接给出限制。
笔尖落在纸上，推导干净利落，没有半点冗余。
别人要写满满两三页的推演，她短短半页纸，就把全部解完整导出。
前后不过八九分钟。
穆淮已经阅卷完毕，站到她的身后俯身站在一旁，逐行看完她的完整推导，呼吸微微一顿，眼底满是震撼与惊艳：
“漂亮！绕开韦达跳跃的繁复递降，用代数数论工具直接剖解结构，这个思路，比常规参考答案还要精妙通透！”